{"id":88,"date":"2009-04-25T17:54:34","date_gmt":"2009-04-25T15:54:34","guid":{"rendered":"http:\/\/wp1.fredptitgars.net\/index.php\/2009\/04\/25\/formule-latex\/"},"modified":"2009-04-25T17:54:34","modified_gmt":"2009-04-25T15:54:34","slug":"formule-latex","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/fredptitgars.ovh\/?p=88","title":{"rendered":"formule latex"},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

La factorisation de Cholesky, consiste, pour une matrice sym\u00e9trique d\u00e9finie positive $A$, \u00e0 d\u00e9terminer une matrice triangulaire inf\u00e9rieure $L$ tel que $A=LL^T$. Une matrice sym\u00e9trique $A$ est dite d\u00e9finie positive si, pour tout vecteur $x$, le produit $x^TAx$ est positif.<\/p>\n

La matrice $L$ est en quelque sorte une \u00ab racine carr\u00e9e \u00bb de $A$. Cette d\u00e9composition permet notamment de calculer la matrice inverse $A^-1<\/em>$, de calculer le d\u00e9terminant de $A$ (\u00e9gal au carr\u00e9 du produit des \u00e9l\u00e9ments diagonaux\nde $L$).<\/p>\n

Exemple<\/h2>\n

La matrice sym\u00e9trique\n$[C_3] = \n\\colorred<\/em> \\langle \\vec k_3L<\/em> \\vec k_3L<\/em>^\\:\\dagger<\/em> \\rangle <\/em>=\n\\left[ \\beginarray<\/em>rrrr<\/em>\nS_11<\/em> & S_21<\/em> & S_31<\/em> \\\\\nS_12<\/em> & S_22<\/em> & S_32<\/em> \\\\\nS_13<\/em> & S_23<\/em> & S_33<\/em> \n\\endarray<\/em> \\right] $<\/p>\n

est \u00e9gale au produit de la matrice triangulaire $L$ et de sa transpos\u00e9e $L^T$:<\/p>\n

$$\n\\pmatrix\n1 & 1 & 1 & 1 \\cr\n1 & 5 & 5 & 5 \\cr\n1 & 5 & 14 & 14 \\cr\n1 & 5 & 14 & 15\n<\/em>=\n\\pmatrix\n1 & 0 & 0 & 0 \\cr\n1 & 2 & 0 & 0 \\cr\n1 & 2 & 3 & 0 \\cr\n1 & 2 & 3 & 1\n<\/em>\\dot\n\\pmatrix\n1 & 1 & 1 & 1 \\cr\n0 & 2 & 2 & 2 \\cr\n0 & 0 & 3 & 3 \\cr\n0 & 0 & 0 & 1\n<\/em>$$<\/p>\n

avec<\/p>\n

$$L=\n\\pmatrix\n1 & 0 & 0 & 0 \\cr\n1 & 2 & 0 & 0 \\cr\n1 & 2 & 3 & 0 \\cr\n1 & 2 & 3 & 1\n<\/em>$$<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/h2>\n

Factorisation de Cholesky d’une matrice :<\/p>\n

Si $A$ est une matrice sym\u00e9trique d\u00e9finie positive, il existe au\nmoins une matrice r\u00e9elle triangulaire inf\u00e9rieure $L$ telle que :\n$$A=LL^T$$<\/p>\n

On peut \u00e9galement imposer que les \u00e9l\u00e9ments diagonaux de la matrice\n$L$ soient tous positifs, et la factorisation correspondante\nest alors unique.<\/p>\n

Algorithme<\/h2>\n

On cherche la matrice :<\/p>\n

$$\nL=\\pmatrix\nl_11<\/em>\\cr\nl_21<\/em> & l_22<\/em>\\cr\n\\vdots & \\vdots & \\ddots\\cr\nl_n1<\/em> & l_n2<\/em> & \\cdots & l_nn<\/em>\n<\/em>\n$$<\/p>\n

De l’\u00e9galit\u00e9 $A=LL^T$ on d\u00e9duit :\n$a_ij<\/em>=\\left(LL^T<\/em>\\right)_ij<\/em>=\\sum_k=1<\/em>^n<\/em>l_ik<\/em>l_jk<\/strong>=\\sum_k=1<\/em>^\\min\\left\\ i,j\\right\\<\/em> <\/em>l_ik<\/em>l_jk<\/strong>,\\;1\\leq i,j\\leq n$<\/p>\n

puisque $l_ij<\/em>=0$ si $1 \\leq i < j \\leq n.$\n\nLa matrice $A$ \u00e9tant sym\u00e9trique, il suffit que les relations ci-dessus soient v\u00e9rifi\u00e9es pour i\u2264j, c'est-\u00e0-dire que les \u00e9l\u00e9ments lij<\/sub> de la matrice $L$ doivent satisfaire :\n$a_ij<\/em>=\\sum_k=1<\/em>^i<\/em>l_ik<\/em>l_jk<\/strong>,\\;1\\leq i,j\\leq n$<\/p>\n

Pour j=1, on d\u00e9termine la premi\u00e8re colonne de $L$ :\n– (i=1) $a_11<\/em>=l_11<\/em>l_11<\/em>$ d’o\u00f9 $l_11<\/em>=\\sqrta_11<\/strong>$\n– (i=2) $a_12<\/em>=l_11<\/em>l_21<\/em>$ d’o\u00f9 $l_21<\/em>=\\fraca_12<\/strong>l_11<\/strong>$\n– …\n– (i=n) $a_1n<\/em>=l_11<\/em>l_n1<\/em>$ d’o\u00f9 $l_n1<\/em>=\\fraca_1n<\/strong>l_11<\/strong>$<\/p>\n

On d\u00e9termine la j-\u00e8me colonne de $L$, apr\u00e8s avoir calcul\u00e9 les (j-1) premi\u00e8res colonnes :\n– (i=j) $a_ii<\/em>=l_i1<\/em>l_i1<\/em>+\\ldots+l_ii<\/em>l_ii<\/em>$ d’o\u00f9 $l_ii<\/em>=\\sqrta_ii<\/em>–\\sum_k=1<\/em>^i-1<\/em>l_ik<\/em>^2<\/strong><\/em>$\n– (i=j+1) $\\displaystyle a_i,i+1<\/em>=l_i1<\/em>l_i+1<\/em>+\\ldots+l_ii<\/em>l_i+1,i<\/em>$ d’o\u00f9 $l_i+1,i<\/em>=\\fraca_i,i+1<\/em>–\\sum_k=1<\/em>^i-1<\/em>l_ik<\/em>l_i+1,k<\/strong><\/em>l_ii<\/strong>$\n– …\n– (i=n) $\\displaystyle a_i,n<\/em>=l_i1<\/em>l_n1<\/em>+\\ldots+l_ii<\/em>l_ni<\/em>$ d’o\u00f9 $l_ni<\/em>=\\fraca_in<\/em>–\\sum_k=1<\/em>^i-1<\/em>l_ik<\/em>l_nk<\/strong><\/em>l_ii<\/strong>$<\/p>\n

R\u00e9solution de syst\u00e8me<\/h2>\n

Pour la r\u00e9solution de syst\u00e8me lin\u00e9aire de la forme:$Ax=b$, le syst\u00e8me devient<\/p>\n

$$LL^Tx = b \\Leftrightarrow\n\\left\\\\beginarray<\/em>cc<\/em>\nLy = b& (1),\\\\\nL^Tx = y &(2).\n\\endarray<\/em>\\right.\n$$<\/p>\n

On r\u00e9sout le syst\u00e8me (1) pour trouver le vecteur $y$, puis le syst\u00e8me (2) pour trouver le vecteur $x$. La r\u00e9solution est facilit\u00e9e par la forme triangulaire des matrices.<\/p>\n

Calcul de d\u00e9terminant<\/h2>\n

La m\u00e9thode de Cholesky permet aussi de calculer le d\u00e9terminant de A, qui est \u00e9gal au carr\u00e9 du produit des \u00e9l\u00e9ments diagonaux de la matrice L, puisque<\/p>\n

$$det(A) = det(L) \u00d7 det(L^T)=det(L)^2$$<\/p>\n

<\/math><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La factorisation de Cholesky, consiste, pour une matrice sym\u00e9trique d\u00e9finie positive $A$, \u00e0 d\u00e9terminer une matrice triangulaire inf\u00e9rieure $L$ tel que $A=LL^T$. Une matrice sym\u00e9trique $A$ est dite d\u00e9finie positive si, pour tout vecteur $x$, le produit $x^TAx$ est positif. La matrice $L$ est en quelque sorte une \u00ab racine carr\u00e9e \u00bb de $A$. Cette […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[15],"tags":[],"class_list":["post-88","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-spip"],"blocksy_meta":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/fredptitgars.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/88","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/fredptitgars.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/fredptitgars.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/fredptitgars.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/fredptitgars.ovh\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=88"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/fredptitgars.ovh\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/88\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/fredptitgars.ovh\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=88"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/fredptitgars.ovh\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=88"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/fredptitgars.ovh\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=88"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}